Дифференциальные уравнения с распределённым запаздыванием Татьяна Леонидовна Сабатулина

У нас вы можете скачать книгу Дифференциальные уравнения с распределённым запаздыванием Татьяна Леонидовна Сабатулина в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Особый интерес вызывали результаты, дающие возможно более точное описание области устойчивости, и многие авторы направляли свои усилия на получение именно таких признаков: Yorke [] и др. Первые признаки устойчивости решений ФДУ были получены для уравнений с сосредоточенным запаздыванием, да и в дальнейшем этим уравнениям посвящалось большинство исследований. Уравнения с распределенным запаздыванием в других терминах — интегро-дифференциальные уравнения, уравнения с запаздывающим усреднением исследованы гораздо меньше.

Как правило, результаты для таких уравнений получают как следствия из теорем для уравнений общего вида, потому эти признаки часто далеки от точных. Исключение составляют работы, в которых целенаправленно изучались ФДУ с распределенным запаздыванием; они появились относительно недавно, и их немного.

Gan [] и М. Jt-h а также работы М. Результаты этих исследований сразу обращают внимание на существенные отличия областей устойчивости уравнений с сосредоточенным и распределённым запаздыванием; это указывает на необходимость продолжать изучать уравнения с распределённым запаздыванием как самостоятельный объект.

Математические модели в биологии. Одна из причин быстрого развития теории ФДУ — то, что эти уравнения с самых первых работ связывались с прикладными задачами. В частности, математическая биология, в особенности исследования динамики популяций, была и остается как источником новых задач, так и объектом приложения новых результатов. При этом особое внимание всегда уделялось задачам, требующим прогнозировать развитие популяции на достаточном большом временном промежутке.

Если биологическая система существует в неизменном виде достаточно долгое время, то она обладает способностью противостоять возмущениям со стороны окружающей среды. Эту способность системы естественно назвать устойчивостью. Описать границы области устойчивости — значит указать те условия существования системы, выход за которые может привести к её разрушению. Чтобы их описание было содержательным, оно должно быть количественным, то есть математическим.

Кроме того, изучение многих биологических процессов в принципе невозможно иными методами, кроме построения адекватной математической модели: Для математического моделирования динамически развивающихся систем используется производная имеющая значение скорости изменения изучаемого объекта , а значит, дифференциальные уравнения и системы.

Довольно долго исследователи динамики популяций ограничивались моделями, представляющими собой обыкновенные дифференциальные уравнения. Такие модели характеризуются предположением, что скорость изменения изучаемого объекта численности популяции в любой момент времени зависит только от состояния объекта в тот же момент времени.

Однако желание описать процесс точнее привело к тому, что эта гипотеза стала заменяться более гибкой: Одна из самых известных биологических моделей, в которой учитывается эффект запаздывания по времени — уравнение Хатчинсона [82,99], описывающее динамику популяций при условии ограниченности ресурсов: Модель Николсона описывает динамику популяции лабораторных мух, модели Ласоты-Важевски и Мэкки-Гласса — процессы кроветворения.

Устойчивость численности популяции, то есть способность популяции возвращаться к равновесному состоянию, математически описывается как устойчивость решений выбранного в качестве модели уравнения. Математические определения устойчивости даются в рамках теории дифференциальных уравнений соответствующего класса. Все перечисленные модели динамики популяций являются нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями.

Исследование асимптотических свойств их решений в большинстве случаев проводится по следующей схеме: Если исходная модель учитывала эффект последействия, то его линейное приближение попадает в класс линейных функционально-дифференциальных уравнений.

Поэтому с прикладной точки зрения наиболее интересными являются результаты, дающие эффективное и возможно более точное описание области устойчивости конкретных классов таких уравнений.

Развитие идеи запаздывания привело к возникновению моделей, в которых последействие учитывается более тонко: Интересно отметить, что первая модель динамики популяции, в которой учитывался эффект последействия, была как раз уравнением с распределённым запаздыванием: Вводя в логистическое уравнение интегральное слагаемое, Вольтерра стремился учесть всю историю процесса от начального момента до текущего.

К сожалению, эти работы не были замечены и оценены другими исследователями и потому не оказали существенного влияния на развитие теории таких уравнений.

Однако на фоне успешного использования моделей с запаздыванием поначалу только сосредоточенным и даже постоянным идея распределённого запаздывания не могла не возникнуть снова. Очевидно, что есть ситуации, где введение сосредоточенного запаздывания не имеет смысла как в приведённой выше модели Вольтерра — загрязнение окружающей среды, носит, очевидно, кумулятивный характер.

В этом случае использование распределённого запаздывания позволяет учитывать вероятностные эффекты в моделях, которые в противном случае были бы детерминированными.

Например, уравнение Хатчинсона с распределённым запаздыванием, которое является обобщением уравнения 0. На сегодня количество работ, в которых исследуется устойчивость биологических моделей, использующих уравнения с сосредоточенным запаздыванием, стало настолько большим, что требуются обзорные статьи, в которых результаты систематизируются и упорядочиваются см. С другой стороны, модели с распределённым запаздыванием признаются столь же содержательными, но оказывается, что для них признаков устойчивости мало, а те, что получаются как следствие из теорем общего вида — далеки от точных.

Таким образом, как с теоретической, так и с прикладной точки зрения изучение уравнения с распределённым запаздыванием оказывается актуальной задачей. Основной объект изучения — линейное дифференциальное уравнение с распределённым запаздыванием: Наибольшее внимание в работе уделяется интегральному слагаемому, которое является определяющим при изучении асимптотических свойств решения.

Цели и задачи исследования. Цель настоящей диссертации — изучение асимптотических свойств решений линейных дифференциальных уравнений 0.

В качестве реализации полученных результатов ставится задача описания свойств биологических моделей, которые обеспечивают устойчивость численности биологического сообщества для уравнений динамики популяций Хатчинсона и Николсона или численность эритроцитов в моделях кроветворения Мэкки-Гласса и Ласоты-Важевски. Теоретические основы и методы исследования. Методы современной теории ФДУ предполагают применение, с одной стороны, методов классических комплексного и вещественного анализа, с другой стороны, специфических методов, разработанных за полвека развития теории ФДУ.

В вопросах теории ФДУ мы в основном опираемся на результаты и следуем традициям научной школы проф. Не менее важным основанием проведённых исследований послужили стремительно развивающиеся возможности программного обеспечения. С помощью программного пакета Mathematica 7 компании Wolfram Research, Inc.

Научная новизна и практическая значимость результатов. Основными результатами диссертации являются следующие. Впервые получены необходимые и достаточные условия устойчивости и положительности решений автономного уравнения 0. Получены точные достаточные условия устойчивости и положительности решений неавтономного уравнения 0.

Удалось получить наглядную геометрическую интерпретацию результатов, прргчём даже в случаях четырёх- и пятимерного пространств параметров.

Для нелинейных ФДУ с распределённым запаздыванием, являющихся моделями динамики популяций Хатчинсона, мух Николсона и кроветворения Ласоты-Важевски, Мэкки-Гласса , получены эффективные проверяемые условия, при которых численность популяции численность кровяных клеток стабилизируется, приближаясь к равновесному состоянию. Представление в пригодном для непосредственного практического использования виде полагалось в работе не менее важным, чем аналитическое описание.

С этой целью каждый существенный результат диссертации приводится в двух видах: Проведённые в работе исследования показали, что уравнения с распределённым запаздыванием часто оказываются более тонким и точным инструментом при моделировании динамики популяций и сходных с ней процессов. Это определяет практическую значимость результатов данной работы, которые существенно расширяют наши возможности при выборе биологических моделей и изучении их свойств.

Результаты работы можно использовать также при исследовании моделей, возникающих в экономике, технике, иммунологии и других моделей, для описания которых требуются дифференциальные уравнения с распределенным запаздыванием. Структура и основные результаты работы.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости и знакоопределенности решений линейного автономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием, включающие в себя все предыдущие результаты такого рода как частные случаи.

Получены достаточные условия устойчивости и знакоопределенности решений линейного неавтономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием, а также показана их точность. Для нелинейных ФДУ с распределённым запаздыванием, являющихся моделями динамики популяций и кроветворения получены эффективные проверяемые условия, при которых численность популяции численность кровяных клеток стабилизируется, приближаясь к равновесному состоянию.

Целенаправленное изучение дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием позволило найти для них области устойчивости и знакоопределенности. Существенное отличие их от соответствующих результатов для дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием прямо указывает на необходимость при учете эффекта запаздывания разделять его дискретную и непрерывную составляющую.

Проведённые в работе исследования показали, что уравнения с распределённым запаздыванием оказываются тонким и точным инструментом при моделировании динамики популяций и сходных с ней процессов, расширив тем самым наши возможности при выборе биологических моделей и изучении их свойств.

Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. Ижевская республиканская типография, Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием.

Устойчивость систем с последействием и их приложения. Методы теории функции комплексного переменного. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений. Интегральные неравенства и устойчивость движения. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Институт компьютерных исследований, Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием.

Методы современной математической физики. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Berezansky l, Braverman E. First order functional differential equations: Oscillation theory for functional differential equations.

Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Kluwer Academic Publishers, Oscillation theory of delay differential equations with applications. Clearendon Press, Oxford University Press, Asymptotic behavior of solutions of retarded differential equations 11 Proc.

Principles and Applications ed. Библиотека диссертаций Математика Дифференциальные уравнения Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием тема автореферата и диссертации по математике, Учёный секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор Кипнис Михаил Маркович Ведущая организация: Симонова Доказательство фундаментальных теорем и разработка новых методов в теории устойчивости ФДУ всегда шла параллельно с получением эффективных признаков устойчивости для конкретных классов ФДУ.

Получены новые достаточные условия устойчивости и знакоопре- 7Вегегапзку L. Кипни- са ЧелГПУ, апрель г. Уравнение Хатчинсона, описывающее динамику популяции в условиях ограниченности ресурсов: Решение уравнения 2 можно представить в виде: Область устойчивости изображена на рис. Малыгиной был получен критерий положительности функции Коши, который является следствием теоремы 4, Предельным переходом из теоремы 4 получаются два известных Рис.

Построен пример, показывающий, что константа в оценке 9 пеулу чшаема. Для уравнения 2 с ограниченными параметрами получен результат, аналогичный теореме 4. В заключении подводятся итоги исследования и перечисляются основные результаты диссертации. Подписано в печать Содержание диссертации автор исследовательской работы: Введение диссертация по математике, на тему "Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием" Актуальность темы исследования.

Такие признаки должны быть: Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения" Основные результаты работы: Заключение Целенаправленное изучение дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием позволило найти для них области устойчивости и знакоопределенности. Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Сабатулина, Татьяна Леонидовна, Пермь 1. Некоторые задачи теории устойчивости движения. Теория функций вещественной переменной.

Похожие работы Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости по двум мерам функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа Асимптотические методы построения решений квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка Двухточечная краевая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом Устойчивость периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом Устойчивость линейных периодических систем с постоянным запаздыванием.

Физика Математика Химия физико-математические науки Математика Теория вероятностей и математическая статистика. Математическая логика, алгебра и теория чисел. Дискретная математика и математическая кибернетика. Математическое обеспечение вычислительных машин и систем. Системный анализ и автоматическое управление. Механика деформируемого твердого тела. Механика жидкости, газа и плазмы. Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры. Рост количества работ, посвященных эффективным признакам устойчивости ФДУ, в значительной степени определяется тем, что они приобретают всё большее прикладное значение.

Наиболее интенсивно развивающейся областью приложений признаков устойчивости уравнений изучаемых нами классов является математическая биология, и особенно исследования динамики популяций.

Отметим, что первые математические модели динамики популяций были относительно простыми и отражали только наиболее грубые биологические законы. По мере того как исследователи стремились изучать модели, отражающие свойства системы всё более точно, модели усложнялись. В частности, гипотеза о том, что скорость роста популяции зависит от численности популяции в тот же момент времени, стала заменяться более гибкой: Такое предположение привело к новым классам моделей: Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с запаздываниями, Мат.

Модель Хатчинсона описывает динамику популяции в условиях ограниченности ресурсов, модель Николсона — популяцию лабораторных мух, модели Ласоты-Важевски и Мэкки-Гласса — процессы кроветворения. Несмотря на то, что динамика популяции и кроветворение — это разные процессы, модели оказались сходными. Развитие этой идеи привело к возникновению моделей, в которых последействие учитывается более тонко. Например, запаздывание не всегда разумно считать сосредоточенным: На сегодня количество работ, в которых исследуется устойчивость биологических моделей, использующих уравнения с сосредоточенным запаздыванием, стало настолько большим, что требуются обзорные статьи, в которых результаты систематизируются и упорядочиваются.

Модели с распределённым запаздыванием признаются столь же содержательными, но на сегодняшний день они исследованы намного меньше 7. Таким образом, как с прикладной, так и с теоретической точки зрения изучение уравнения с распределённым запаздыванием оказывается актуальной задачей. Цель работы — изучение асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием и получение для них признаков устойчивости и знакоопределённости. Такие признаки должны быть сформулированы количественно и быть эффективными, то есть явно указывать области изменения численных параметров уравнения, при которых решение обладает указанными свойствами.

В работе используются как классические методы комплексного и вещественного анализа и теории дифференциальных уравнений, так и современные методы теории ФДУ. С помощью математического программного пакета Mathematica 7 компании Wolfram Research, Inc. Получены новые необходимые и достаточные условия устойчивости и знакоопределённости решений линейного автономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием, включающие в себя все предыдущие результаты такого рода из вышеназванных работ М.

Carvalho как частные случаи. Для нелинейных ФДУ с распределённым запаздыванием, являющихся моделями динамики популяций модели Хатчинсона и мух Никол-сона и кроветворения модели Ласоты-Важевски и Мэкки-Гласса , получены эффективные проверяемые условия, при которых соответственно численность популяции и численность кровяных клеток стабилизируется, приближаясь к равновесному состоянию. Теоретическая и практическая значимость.

В процессе целенаправленного изучения свойств дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием было выявлено существенное отличие их областей устойчивости и знакоопределённости от соответствующих областей для дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием. Это прямо указывает на необходимость при учёте эффекта запаздывания разделять его дискретную и непрерывную составляющую. Вклад проведённых исследований в теорию ФДУ состоит в том, что они проясняют природу уравнений с распределённым запаздыванием и сокращают разрыв в степени изученности асимптотики разных видов ФДУ.

Практическая значимость исследований определяется возможностью применения полученных результатов при изучении природных и технических процессов. При этом все основные результаты диссертации приводятся в двух видах: Проведённые исследования показали, что при моделировании динамики популяций и сходных с ней процессов уравнения с распределённым запаздыванием часто оказываются более тонким и точным инструментом, чем уравнения, изучавшиеся ранее.

Результаты исследования существенно расширяют возможности применения теории ФДУ для изучения биологических процессов. Они могут быть применены также при изучении процессов в экономике, технике, иммунологии и в других областях, где для адекватного моделирования требуются дифференциальные уравнения с распределённым запаздыванием.

Достоверность результатов гарантируется строгостью доказательств. Области устойчивости и знакоопределённости решений, построенные компьютерными методами, полностью соответствуют аналитическим результатам. Результаты исследований многократно докладывались и обсуждались на семинаре кафедры вычислительной математики и механики Пермского государственного технического университета, на Пермском городском семинаре по ФДУ ноябрь г. Матвеенко, декабрь, г.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 14 работах, из них 4 статьи — в изданиях, включённых в перечень ВАК. Во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит постановка задачи и общее руководство. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет страниц, включая 18 рисунков.